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My custom workspace which I designed, built and wired in 2017. From here I perform most of my personal tasks: writing articles, code, hacking or doing something equally spectacular. A custom passively cooled quad core Hackintosh runs smooth and remains whisper quiet, DIY monitor backlight keeps the eye strain from late night sprints at bay, a custom built DAC combined with either monitors or headphones fills the space with wondrous vibes. The mini-galaxy bulbs enclosed in terrariums symbolize “self” as being part of something grand, something bigger than life, urging one to do great things…

I was up early on a very cold morning in New Mexico to ride my motorcycle back toward home (Phoenix). The sun started coming up so I stopped to get some warmth and was captivated by these eerie looking radio telescopes. The dawn light gave me just the feeling I was experiencing at the time. I spent about an hour there making images in that soft side light. Warmer, I hopped on the cruiser and headed out. It was still cold though… dang.

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La solution de cette conjecture est tirée de la formule du grand Issac NEWTON :
.
P =? NP est une question théorique qui concerne la complexité algorithmique des problèmes de décision.
En sortie de tout algorithme tentant de résoudre un problème de décision, la réponse attendue est soit OUI, soit NON ou encore soit VRAI soit FAUX. Il n'y a que 2 possibilités.
La difficulté de ce type de problèmes vient de ce que la solution dépend de N, le nombre des variables fournies à l'entrée de l'algorithme. Si vous avez N variables, la formule du binôme de NEWTION indique qu'il existe 2N combinaisons de ces variables. Par conséquent, en théorie, votre algorithme devra examiner ces 2N combinaisons.
Or, si N augmente d'une seule unité, le nombre de cas à examiner double en vertu de la formule 2N+1 = 2 * 2N. La croissance des cas à examiner est dite exponentielle.
La théorie de la complexité est née de cette constatation. Elle classe les problèmes en fonction de leur niveau de difficulté, en se concentrant soit sur le temps de résolution, soit sur l'espace nécessaire pour permettre la résolution du problème.
La classe P regroupe les problèmes de décision qui peuvent être résolus en temps polynomial, c'est-à-dire que l'algorithme résolvant le problème s'exécute en un temps qui est borné par un polynôme de la taille de l'entrée. La recherche d'un élément dans une liste finie ordonnée est un exemple classique d'un problème appartenant à la classe P, car il peut être résolu en temps polynomial.
La classe NP, en revanche, contient des problèmes de décision pour lesquels une solution proposée peut être vérifiée en temps polynomial.
Cependant, cela ne signifie pas nécessairement que la recherche de la solution elle-même peut être effectuée en temps polynomial.
D'où la fameuse question : peut-on trouver facilement ce que l'on peut vérifier facilement ? Autrement dit la classe de problèmes P est-elle égale à la classe de problèmes NP. ?
Un problème non déterministe est caractérisé par le fait qu'à chaque étape, il existe plusieurs choix possibles, ce qui crée un arbre de solutions potentielles. Chaque feuille de cet arbre représente une solution possible au problème.
Ainsi, pour obtenir la transformation d'un problème non déterministe en un problème déterministe, l'idée est de se concentrer sur les branches de l'arbre, en examinant les combinaisons de choix possibles, partant de la racine de l'arbre à chaque feuille, d'un coup, au lieu d'explorer chaque nœud des branches de l'arbre (ce qui est coûteux en termes de temps de calcul), comme le font tous les algorithmes actuels.
En effet, dans un problème de décision, le nombre de branches est toujours connu. Il vaut toujours 2N. C'est une donnée incontournable. Il s'agit du nombre de feuilles de l'arbre de décision. Parler ici de branches ou de feuilles est exactement la même chose parce que le nombre de chemins pour parvenir aux feuilles est égal au nombre de branches.
Et c'est là qu'intervient la célèbre formule du binôme de NEWTON.
..
Chaque constituant de la somme à gauche de la formule du binôme de NEWTON est un ensemble de combinaisons de p noeuds choisis parmi N, de cardinal . Autrement dit, chaque combinaison de l'intervalle [1, ] est une branche contenant p noeuds.
On pressent tout de suite tous les avantages : en effet, si les p éléments de chaque combinaison sont rangés dans l'ordre lexicographique, alors les combinaisons s'ordonnent d'elles-mêmes. Voici un exemple pour p = 6 et N = 49
Cette structuration des combinaisons de p éléments choisis parmi N reste valable ∀p et ∀N, 0 < p <= N.
Bien entendu, Il n'est pas nécessaire de lister toutes les combinaisons à partir du rang 1 dès lors que l'on a établi, comme on le constate sur la figure ci-dessus, que l'ordonnancement des éléments des combinaisaons entraine l'ordonnancement de l'ensemble des combinaisons .
En regardant l'exemple de code ci-après, pour p = 6 et N = 49 et en n'oubliant pas de fixer les bornes comme je le fais, il vous sera facile de lister des plages de combinaisons que vous ferez démarrer avec le premier élément que vous voudriez et avec le nombre de combinaisons souhaitées.
Pour le code ci-dessus, valable pour des combinaisons de 6 éléments choisis parmi 49, en fixant $dep = 42 et $dep2 = 44, voici ce que vous obtiendrez :
Pour des valeurs de p et de N différentes, souvenez-vous, en générant votre code que le nombre de boucle " for" est toujours égal à p. En générant votre code pour des valeurs supérieures à 100, vous ferez moins d'erreurs.
► Notez bien que notre propre code est inspiré du code que nous vous donnons en exemple.
Vous constaterez 4 choses :
En somme,vous avez gagné du temps et de l'espace.
Vous avez donc dans les mains un « oracle », cette entité hypothétique que les théoriciens de la complexité utilisent pour pouvoir finaliser leurs théories. Avec cet « oracle » vous pouvez parfaitement obtenir une plage de combinaisons ordonnées et délimitées par une borne basse et une borne haute.
Travailler avec des plages de combinaisons ordonnées vous dispense d'examiner des milliards de milliards ... milliards de milliards ... de milliards de milliards de cas.
La complexité, dans le contexte de l'informatique et de l'algorithmique, se réfère à la mesure de la quantité de ressources (telles que le temps, la mémoire ou les opérations) nécessaires pour exécuter un algorithme ou résoudre un problème informatique en fonction de la taille de l'entrée.
Elle vise à évaluer l'efficacité et les performances des algorithmes. La complexité est souvent exprimée en termes de notation (la notation O) pour indiquer comment le temps ou l'espace requis augmente à mesure que la taille de l'entrée augmente. Voici un tableau qui illustre ce concept :
Avec des factorielles d'un côté et une exponentielle de l'autre, la formule du binôme de NEWTON pour N = 1000 semble être impraticable :
.
Or, comme nous l'avons observé précédemment, la formule du binôme de NEWTON, dans sa partie gauche n'est rien d'autre qu'une liste finie de combinaisons que l'on peut facilement transformée en une liste finie ordonnée de combinaisons.
L'ordonnancement des combinaisons change radicalement la donne.
Complexité de la recherche de k éléments, k <= p, dans une combinaison dont les éléments sont ordonnés :
La complexité de la recherche de k éléments dans une combinaison ordonnée de p éléments choisis parmi N, les p éléments étant ordonnés selon l'ordre lexicographique, se fera en k * log2(p) opérations (recherche dichotomique).
Complexité de la recherche de k éléments, k <= p, d'une combinaison dans l'intervalle [1, ] :
La complexité de la recherche de k éléments d'une combinaison ordonnée de p éléments choisis parmi N, dans la liste ordonnée des combinaisons de l'intervalle [1, ], s'effectuera en k * log2(p) * log2( ) opérations (Recherche dichotomique).
Complexité de la recherche d'une combinaison de k éléments, k <= p dans l'intervalle |1,2N]:
Prenons d'abord l'exemple de N = 10, ce qui nous donne l'intervalle [1, 1024 = 210]. Une image valant mieux que tous les discours, voici la numérotation des combinaisons
La complexité de la recherche de k éléments d'une combinaison ordonnée de p éléments choisis parmi N dans la liste ordonnée des combinaisons de l'intervalle [1, 2N] s'effectuera en N * k * log2(p) * log2( ) opérations.
Nous avons montré qu'il existe une bijection entre l'ensemble des entiers de l'intervalle [1, ] et l'ensemble des combinaisons de cardinal . Il s'agit d'un ordre local
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